[삼각치환] 원의 넓이공식 파이알제곱의 증명

처음 원의 넓이공식을 배웠을 때가 언제일까?
아마 초등학교 고학년 때 원을 잘게 쪼개어 붙여 직사각형을 만드는 방식을 배웠을 것이다.
아마 어릴 당시에는 위 방법처럼 직관적인 방식이 받아들이기 쉬우므로 교과서에 이러한 방식이 소개되었을 것이다.
하지만 지금생각해보면 역시 극한의 개념이 내포되어있어 불편한 구석이 한두가지가 아니다.
서론이 길었다.
오늘은 모두가 알고있는 원의 넓이공식, 파이알제곱을 식으로 직관적이지 않고, 엄밀하게 증명해보겠다.
 

위와 같은 원에서 원의 넓이를 S, 사분원의 넓이를 T라고 하겠다. 이 원을 방정식으로 나타내면

이다.
중심이 원점이고, 반지름이 r인 원의 방정식을 함수로 표현하면 다음과 같다.

사분원 T의 넓이는 위 함수의 정적분으로 표현하면,

 
임을 알 수 있다. 위 정적분은 삼각치환을 이용하여 적분할 수 있으므로, 아래와 같이 하면,

이므로,

을 얻을 수 있다.
이제 간단한 함수의 정적분이 되었다.
이어서 적분해보자.
반각공식

에 따라,

임을 알 수 있다.

 
이처럼 간단한 치환적분과 적분과정에서의 간단한 반각공식을 통해 깔끔히 증명할 수 있다.
만약 동생이 원의 넓이공식을 이해하지 못하겠다 말하면, 위와 같은 과정을 설명해줘라!
 
다음엔 오늘의 방식과는다른 규칙추론과 극한식을 통해 원의 넓이공식을 증명해보겠다.
 
+삼각치환적분법은 적분하기 어려운 분수식이나 루트식을 적분하는데 용이하다.