처음 원의 넓이공식을 배웠을 때가 언제일까? 아마 초등학교 고학년 때 원을 잘게 쪼개어 붙여 직사각형을 만드는 방식을 배웠을 것이다. 아마 어릴 당시에는 위 방법처럼 직관적인 방식이 받아들이기 쉬우므로 교과서에 이러한 방식이 소개되었을 것이다. 하지만 지금생각해보면 역시 극한의 개념이 내포되어있어 불편한 구석이 한두가지가 아니다. 서론이 길었다. 오늘은 모두가 알고있는 원의 넓이공식, 파이알제곱을 식으로 직관적이지 않고, 엄밀하게 증명해보겠다. 위와 같은 원에서 원의 넓이를 S, 사분원의 넓이를 T라고 하겠다. 이 원을 방정식으로 나타내면이다. 중심이 원점이고, 반지름이 r인 원의 방정식을 함수로 표현하면 다음과 같다.사분원 T의 넓이는 위 함수의 정적분으로 표현하면, 임을 알 수 있다. 위 정적분은 삼..

다음 극한을 구해보자.로피탈의 정리로 굉장히 쉽게 증명할 수 있지만, 나는 고등교육 과정 내에서 위 식의 극한을 구해보겠다.다음과 같이 함수 하나를 정의하자.도함수는 위와 같으므로, f는 x=4에서 유일하게 극대임을 알 수 있다.즉 다음과 같은 부등식이 성립함을 알 수 있다.정리하면,이며, 정의역을 자연수로 정해주면,이다.조임정리를 사용하기 위해, 하한을 정해주면,이며, 각각 자연수 n으로 나누어 주면,이다.이제 모든 준비가 끝났다. 각각 극한을 취하면, 조임정리에 따라 멋지게 수렴값을 구할 수 있다.이고,이므로,을 얻을 수 있다. +조임정리는 구하기 어려운 수열의 극한을 세련되게 구할 수 있다.